Srinivasa Ramanujan

Srinivasa Ramanujan

*FRS*
Srinivasa Ramanujan; FRS
Nato	22 dicembre 1887; Erode , Presidenza di Madras , India britannica
Morto	26 aprile 1920 (32 anni); Kumbakonam , Presidenza di Madras , India britannica
Altri nomi	Srinivasa Ramanujan Aiyangar
Cittadinanza	Raja britannico
Formazione scolastica	Government Arts College (senza laurea); Pachaiyappa's College (senza laurea); Trinity College, Cambridge (Bachelor of Arts in Research, 1916);
Conosciuto per	Costante di Landau–Ramanujan; Finte funzioni theta; congettura di Ramanujan; Ramanujan primo; Costante Ramanujan-Soldner; Funzione theta di Ramanujan; La somma di Ramanujan; Identità Rogers-Ramanujan; Teorema del maestro di Ramanujan; Serie Ramanujan–Sato;
Premi	Membro della Royal Society
	Carriera scientifica
Campi	Matematica
Istituzioni	Trinity College, Cambridge
Tesi	Numeri altamente compositi (1916)
Consulenti accademici	GH Hardy; JE Littlewood;
Influenze	GS Carr
influenzato	GH Hardy
Firma

Srinivasa Ramanujan FRS ( / s r ɪ n ɪ v ɑː s r ɑː m ɑː n ʊ dʒ ən / ; nato Srinivasa Ramanujan Aiyangar , IPA: [sriːniʋaːsa ɾaːmaːnud͡ʑan ajːaŋgar] ; 22 dicembre 1887 - 26 Aprile 1920) è stato un indiano matematico che visse durante la dominazione britannica in India. Sebbene non avesse quasi alcuna formazione formale in matematica pura , diede contributi sostanziali all'analisi matematica , teoria dei numeri , serie infinite e frazioni continue , comprese le soluzioni a problemi matematici allora considerati irrisolvibili. Ramanujan inizialmente sviluppò la propria ricerca matematica in isolamento: secondo Hans Eysenck : "Ha cercato di interessare i principali matematici professionisti nel suo lavoro, ma per la maggior parte ha fallito. Quello che doveva mostrare loro era troppo nuovo, troppo sconosciuto e inoltre presentati in modi insoliti; non potevano essere disturbati". Alla ricerca di matematici che potessero comprendere meglio il suo lavoro, nel 1913 iniziò una corrispondenza postale con il matematico inglese GH Hardy presso l' Università di Cambridge , in Inghilterra.. Riconoscendo il lavoro di Ramanujan come straordinario, Hardy ha organizzato per lui un viaggio a Cambridge. Nelle sue note, Hardy ha commentato che Ramanujan aveva prodotto nuovi teoremi rivoluzionari , inclusi alcuni che "mi hanno completamente sconfitto; non avevo mai visto niente di simile prima d'ora", e alcuni risultati recentemente provati ma molto avanzati.

Durante la sua breve vita, Ramanujan ha compilato in modo indipendente quasi 3.900 risultati (per lo più identità ed equazioni ). Molti erano completamente nuovi; i suoi risultati originali e altamente non convenzionali, come il primo di Ramanujan , la funzione theta di Ramanujan , le formule di partizione e le funzioni di mock theta , hanno aperto intere nuove aree di lavoro e hanno ispirato una vasta quantità di ulteriori ricerche. Quasi tutte le sue affermazioni sono state ora dimostrate corrette. Il Ramanujan Journal , una rivista scientifica scientific, è stato istituito per pubblicare lavori in tutte le aree della matematica influenzate da Ramanujan e i suoi taccuini, contenenti riassunti dei suoi risultati pubblicati e non pubblicati, sono stati analizzati e studiati per decenni dalla sua morte come fonte di nuove idee matematiche. Ancora nel 2012, i ricercatori hanno continuato a scoprire che i semplici commenti nei suoi scritti su "proprietà semplici" e "prodotti simili" per alcuni risultati erano essi stessi risultati profondi e sottili della teoria dei numeri che sono rimasti insospettati fino a quasi un secolo dopo la sua morte. Divenne uno dei più giovani membri della Royal Society e solo il secondo membro indiano e il primo indiano ad essere eletto Fellow del Trinity College di Cambridge. Delle sue lettere originali, Hardy affermò che un solo sguardo era sufficiente per dimostrare che avrebbero potuto essere scritte solo da un matematico di altissimo livello, paragonando Ramanujan a geni matematici come Eulero e Jacobi .

Nel 1919, la cattiva salute - ora ritenuta un'amebiasi epatica (una complicazione di episodi di dissenteria molti anni prima) - costrinse Ramanujan a tornare in India, dove morì nel 1920 all'età di 32 anni. Le sue ultime lettere a Hardy, scritte in gennaio 1920, mostrano che stava ancora continuando a produrre nuove idee e teoremi matematici. Il suo " quaderno perduto ", contenente scoperte dell'ultimo anno della sua vita, suscitò grande entusiasmo tra i matematici quando fu riscoperto nel 1976.

Indù profondamente religioso , Ramanujan attribuì alla divinità le sue sostanziali capacità matematiche e disse che la conoscenza matematica che mostrava gli era stata rivelata dalla sua dea di famiglia Namagiri Thayar . Una volta disse: "Un'equazione per me non ha significato a meno che non esprima un pensiero di Dio ".

Primi anni di vita

Luogo di nascita di Ramanujan in 18 Alahiri Street, Erode , ora nel Tamil Nadu

La casa di Ramanujan in Sarangapani Sannidhi Street, Kumbakonam

Ramanujan (letteralmente "fratello minore di Rama ", una divinità indù) nacque il 22 dicembre 1887 da una famiglia tamil bramino Iyengar a Erode , presidenza di Madras (ora Tamil Nadu, India ), presso la residenza dei nonni materni. Suo padre, Kuppuswamy Srinivasa Iyengar, originario del distretto di Thanjavur , lavorava come commesso in un negozio di sari . Sua madre, Komalatammal, era una casalinga e cantava in un tempio locale. Vivevano in una piccola casa tradizionale in Sarangapani Sannidhi Street nella città di Kumbakonam. La casa di famiglia è ora un museo. Quando Ramanujan aveva un anno e mezzo, sua madre diede alla luce un figlio, Sadagopan, che morì meno di tre mesi dopo. Nel dicembre 1889 Ramanujan contrasse il vaiolo , ma si riprese, a differenza degli altri 4.000 che morirono in un brutto anno nel distretto di Thanjavur in questo periodo. Si trasferì con sua madre nella casa dei suoi genitori a Kanchipuram , vicino a Madras (ora Chennai ). Sua madre diede alla luce altri due figli, nel 1891 e nel 1894, entrambi morti prima del loro primo compleanno.

Il 1° ottobre 1892 Ramanujan fu iscritto alla scuola locale. Dopo che suo nonno materno ha perso il lavoro come funzionario del tribunale a Kanchipuram, Ramanujan e sua madre sono tornati a Kumbakonam e lui è stato iscritto alla Kangayan Primary School. Quando suo nonno paterno morì, fu rimandato dai nonni materni, che allora vivevano a Madras. Non gli piaceva la scuola a Madras e cercava di evitare di frequentarla. La sua famiglia ha arruolato un agente locale per assicurarsi che frequentasse la scuola. Nel giro di sei mesi, Ramanujan tornò a Kumbakonam.

Dato che il padre di Ramanujan era al lavoro quasi tutto il giorno, sua madre si prendeva cura del ragazzo e avevano uno stretto rapporto. Da lei imparò a conoscere la tradizione e i purana , a cantare canti religiosi, a partecipare alle puja al tempio e a mantenere particolari abitudini alimentari, tutto parte della cultura brahmina . Alla Kangayan Primary School Ramanujan si è comportato bene. Poco prima di compiere 10 anni, nel novembre 1897, superò gli esami primari in inglese, tamil , geografia e aritmetica con i migliori punteggi del distretto. Quell'anno Ramanujan entrò alla Town Higher Secondary School , dove incontrò per la prima volta la matematica formale.

Un bambino prodigio da 11 anni, che aveva esaurito le conoscenze matematiche di due studenti universitari che erano pensionanti a casa sua. In seguito gli fu prestato un libro scritto da SL Loney sulla trigonometria avanzata. Ha imparato questo all'età di 13 anni scoprendo da solo sofisticati teoremi. A 14 anni ha ricevuto attestati di merito e riconoscimenti accademici che hanno continuato per tutta la sua carriera scolastica, e ha assistito la scuola nella logistica di assegnazione dei suoi 1.200 studenti (ognuno con esigenze diverse) ai suoi circa 35 insegnanti. Ha completato gli esami di matematica in metà del tempo assegnato e ha mostrato familiarità con la geometria e le serie infinite. A Ramanujan fu mostrato come risolvere le equazioni cubiche nel 1902; ha sviluppato il proprio metodo per risolvere la quartica . L'anno successivo tentò di risolvere il quintico , non sapendo che non poteva essere risolto dai radicali.

Nel 1903, quando aveva 16 anni, Ramanujan ottenne da un amico una copia in biblioteca di A Synopsis of Elementary Results in Pure and Applied Mathematics , la raccolta di 5.000 teoremi di GS Carr . Secondo quanto riferito, Ramanujan ha studiato in dettaglio il contenuto del libro. Il libro è generalmente riconosciuto come un elemento chiave per risvegliare il suo genio. L'anno successivo Ramanujan sviluppò e indagò in modo indipendente i numeri di Bernoulli e calcolò la costante di Eulero-Mascheroni fino a 15 cifre decimali. I suoi coetanei all'epoca dissero che "raramente lo capivano" e "stivavano in rispettoso timore reverenziale" di lui.

Quando si diplomò alla Town Higher Secondary School nel 1904, Ramanujan ricevette il premio K. Ranganatha Rao per la matematica dal preside della scuola, Krishnaswami Iyer. Iyer ha presentato Ramanujan come uno studente eccezionale che ha meritato punteggi superiori al massimo. Ha ricevuto una borsa di studio per studiare al Government Arts College, Kumbakonam , ma era così concentrato sulla matematica che non poteva concentrarsi su altre materie e ha fallito la maggior parte di esse, perdendo la sua borsa di studio nel processo. Nell'agosto 1905 Ramanujan scappò di casa, dirigendosi verso Visakhapatnam , e rimase a Rajahmundry per circa un mese. In seguito si iscrisse al Pachaiyappa's College a Madras. Lì passò in matematica, scegliendo solo di tentare domande che lo attraevano e lasciando il resto senza risposta, ma si comportava male in altre materie, come l'inglese, la fisiologia e il sanscrito. Ramanujan fallì l' esame di Fellow of Arts nel dicembre 1906 e di nuovo un anno dopo. Senza una laurea in FA, ha lasciato il college e ha continuato a perseguire la ricerca indipendente in matematica, vivendo in estrema povertà e spesso sull'orlo della fame.

Nel 1910, dopo un incontro tra il 23enne Ramanujan e il fondatore della Indian Mathematical Society , V. Ramaswamy Aiyer , Ramanujan iniziò ad ottenere riconoscimenti nei circoli matematici di Madras, portando alla sua inclusione come ricercatore presso l' Università di Madras .

Età adulta in India

Il 14 luglio 1909, Ramanujan sposò Janaki (Janakiammal; 21 marzo 1899 – 13 aprile 1994), una ragazza che sua madre aveva scelto per lui un anno prima e che aveva dieci anni quando si sposarono. Non era insolito allora che i matrimoni venissero combinati con ragazze in giovane età. Janaki era di Rajendram, un villaggio vicino alla stazione ferroviaria di Marudur ( distretto di Karur ). Il padre di Ramanujan non ha partecipato alla cerimonia del matrimonio. Come era comune a quel tempo, Janaki continuò a rimanere nella sua casa materna per tre anni dopo il matrimonio, fino alla pubertà. Nel 1912, lei e la madre di Ramanujan si unirono a Ramanujan a Madras.

Dopo il matrimonio, Ramanujan sviluppò un idrocele testicolare . La condizione potrebbe essere trattata con un intervento chirurgico di routine che rilascerebbe il liquido bloccato nel sacco scrotale, ma la sua famiglia non poteva permettersi l'operazione. Nel gennaio 1910, un medico si offrì volontario per eseguire l'intervento senza alcun costo.

Dopo il suo intervento chirurgico di successo, Ramanujan ha cercato un lavoro. Rimase a casa di un amico mentre andava di porta in porta nei dintorni di Madras in cerca di un posto di impiegato. Per fare soldi, ha insegnato agli studenti del Presidency College che si stavano preparando per l'esame di FA.

Alla fine del 1910, Ramanujan si ammalò di nuovo. Temeva per la sua salute e disse al suo amico R. Radakrishna Iyer di "consegnare [i suoi quaderni] al professor Singaravelu Mudaliar [il professore di matematica al Pachaiyappa's College] o al professore britannico Edward B. Ross, del Madras Christian College . " Dopo che Ramanujan si riprese e recuperò i suoi taccuini da Iyer, prese un treno da Kumbakonam a Villupuram , una città sotto il controllo francese. Nel 1912, Ramanujan si trasferì con sua moglie e sua madre in una casa in via Saiva Muthaiah Mudali, George Town , Madras , dove vissero per alcuni mesi. Nel maggio 1913, dopo essersi assicurato un posto di ricerca presso l'Università di Madras, Ramanujan si trasferì con la sua famiglia a Triplicane .

Perseguimento di carriera in matematica

Nel 1910, Ramanujan incontrò il vice collezionista V. Ramaswamy Aiyer , che fondò la Indian Mathematical Society. Desiderando un lavoro presso il dipartimento delle entrate dove lavorava Aiyer, Ramanujan gli mostrò i suoi quaderni di matematica. Come ha ricordato in seguito Aiyer:

Mi hanno colpito gli straordinari risultati matematici contenuti [nei quaderni]. Non avevo intenzione di soffocare il suo genio con un appuntamento ai gradini più bassi dell'ufficio delle entrate.

Aiyer inviò Ramanujan, con lettere di presentazione, ai suoi amici matematici a Madras. Alcuni di loro hanno guardato il suo lavoro e gli hanno dato lettere di presentazione a R. Ramachandra Rao , il collezionista distrettuale di Nellore e il segretario della Indian Mathematical Society. Rao rimase impressionato dalla ricerca di Ramanujan, ma dubitava che fosse opera sua. Ramanujan ha menzionato una corrispondenza avuta con il professor Saldhana, un notevole matematico di Bombay , in cui Saldhana ha espresso una mancanza di comprensione del suo lavoro, ma ha concluso che non era un impostore. L'amico di Ramanujan CV Rajagopalachari cercò di sedare i dubbi di Rao sull'integrità accademica di Ramanujan. Rao accettò di dargli un'altra possibilità e ascoltò mentre Ramanujan discuteva integrali ellittici , serie ipergeometriche e la sua teoria delle serie divergenti , che secondo Rao alla fine lo convinsero della genialità di Ramanujan. Quando Rao gli ha chiesto cosa volesse, Ramanujan ha risposto che aveva bisogno di lavoro e sostegno finanziario. Rao acconsentì e lo mandò a Madras. Ha continuato la sua ricerca con l'aiuto finanziario di Rao. Con l'aiuto di Aiyer, Ramanujan fece pubblicare il suo lavoro sul Journal of the Indian Mathematical Society.

Uno dei primi problemi che ha posto nella rivista è stato quello di trovare il valore di:

{\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+\cdots }}}}}}.

Ha aspettato che gli venisse offerta una soluzione in tre numeri, nell'arco di sei mesi, ma non ne ha ricevuta. Alla fine, Ramanujan ha fornito lui stesso la soluzione al problema. A pagina 105 del suo primo taccuino, ha formulato un'equazione che potrebbe essere utilizzata per risolvere il problema dei radicali infinitamente nidificati .

x+n+a={\sqrt {ax+(n+a)^{2}+x{\sqrt {a(x+n)+(n+a)^{2}+(x+n){\ sqrt {\cdots }}}}}}

Usando questa equazione, la risposta alla domanda posta nel Journal era semplicemente 3, ottenuta ponendo $x = 2$ , $n = 1$ e $a = 0$ . Ramanujan scrisse il suo primo articolo ufficiale per il Journal sulle proprietà dei numeri di Bernoulli . Una proprietà ha scoperto è che i denominatori (sequenza A027642 in OEIS ) delle frazioni di numeri di Bernoulli sono sempre divisibile per sei. Ha anche ideato un metodo per calcolare $B n$ basato sui precedenti numeri di Bernoulli. Uno di questi metodi segue:

Si osserverà che se n è pari ma non uguale a zero,

$B n$ è una frazione e il numeratore di $B n / n$ nei suoi minimi termini è un numero primo,
il denominatore di $B n$ contiene ciascuno dei fattori 2 e 3 una volta e solo una volta,
$2(2 - 1) B n / n$ è un intero e $2(2 - 1) B n di$ conseguenza è un intero dispari .

Nel suo articolo di 17 pagine "Some Properties of Bernoulli's Numbers" (1911), Ramanujan ha fornito tre prove, due corollari e tre congetture. La sua scrittura inizialmente aveva molti difetti. Come ha osservato l'editore del Journal MT Narayana Iyengar:

I metodi del signor Ramanujan erano così concisi e nuovi e la sua presentazione così carente di chiarezza e precisione, che il comune [lettore di matematica], non abituato a tale ginnastica intellettuale, difficilmente poteva seguirlo.

Ramanujan in seguito scrisse un altro articolo e continuò anche a fornire problemi nel Journal . All'inizio del 1912, ottenne un lavoro temporaneo nell'ufficio del ragioniere generale di Madras , con uno stipendio mensile di 20 rupie. È durato solo poche settimane. Verso la fine di tale incarico, ha fatto domanda per una posizione sotto il capo contabile del Madras Port Trust .

In una lettera datata 9 febbraio 1912, Ramanujan scriveva:

Signore,
ho saputo che c'è un posto di lavoro vacante nel suo ufficio, e mi permetto di fare domanda per lo stesso. Ho superato l'esame di maturità e ho studiato fino alla FA, ma mi è stato impedito di proseguire gli studi a causa di diverse circostanze spiacevoli. Tuttavia, ho dedicato tutto il mio tempo alla matematica e allo sviluppo della materia. Posso dire di essere abbastanza fiducioso di poter rendere giustizia al mio lavoro se sarò nominato per questo posto. La prego quindi di chiederle di essere così gentile da conferire a me l'incarico.

In allegato alla sua domanda c'era una raccomandazione di EW Middlemast , un professore di matematica al Presidency College , che scrisse che Ramanujan era "un giovane di capacità abbastanza eccezionali in matematica". Tre settimane dopo aver fatto domanda, il 1 marzo, Ramanujan apprese di essere stato accettato come impiegato contabile di classe III, grado IV, guadagnando 30 rupie al mese. Nel suo ufficio Ramanujan completò facilmente e rapidamente il lavoro che gli era stato assegnato e trascorse il suo tempo libero facendo ricerche matematiche. Il capo di Ramanujan, Sir Francis Spring , e S. Narayana Iyer, un collega che era anche tesoriere della Indian Mathematical Society, incoraggiarono Ramanujan nelle sue ricerche matematiche.

Contattare i matematici britannici

Nella primavera del 1913, Narayana Iyer, Ramachandra Rao e EW Middlemast cercarono di presentare il lavoro di Ramanujan ai matematici britannici. MJM Hill di University College di Londra ha commentato che le carte di Ramanujan era pieno di buchi. Ha detto che sebbene Ramanujan avesse "un gusto per la matematica e una certa abilità", gli mancava il background educativo e le basi necessarie per essere accettato dai matematici. Sebbene Hill non si offrì di assumere Ramanujan come studente, diede consigli professionali approfonditi e seri sul suo lavoro. Con l'aiuto di amici, Ramanujan redasse lettere ai principali matematici dell'Università di Cambridge.

I primi due professori, HF Baker e EW Hobson , hanno restituito i documenti di Ramanujan senza commenti. Il 16 gennaio 1913, Ramanujan scrisse a GH Hardy . Provenienti da un matematico sconosciuto, le nove pagine di matematica hanno inizialmente fatto sì che Hardy considerasse i manoscritti di Ramanujan come una possibile frode. Hardy riconobbe alcune delle formule di Ramanujan, ma altre "sembravano difficilmente credibili". Uno dei teoremi che Hardy ha trovato sorprendente era in fondo alla pagina tre (valido per $0 < a < b + 1 / 2$ ):

\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {1+{\dfrac {x^{2}}{(b+1)^{2}}}}{1+{\ dfrac {x^{2}}{a^{2}}}}}\times {\frac {1+{\dfrac {x^{2}}{(b+2)^{2}}}}{ 1+{\dfrac {x^{2}}{(a+1)^{2}}}}}\times \cdots \,dx={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\ volte {\frac {\Gamma \left(a+{\frac {1}{2}}\right)\Gamma (b+1)\Gamma (b-a+1)}{\Gamma (a)\Gamma \ left(b+{\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left(b-a+{\frac {1}{2}}\right)}}.

Hardy è stato anche colpito da alcuni degli altri lavori di Ramanujan relativi alle serie infinite:

1-5\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}+9\left({\frac {1\times 3}{2\times 4}}\right) ^{3}-13\left({\frac {1\times 3\times 5}{2\times 4\times 6}}\right)^{3}+\cdots ={\frac {2}{\ pi }}

1+9\left({\frac {1}{4}}\right)^{4}+17\left({\frac {1\times 5}{4\times 8}}\right) ^{4}+25\left({\frac {1\times 5\times 9}{4\times 8\times 12}}\right)^{4}+\cdots ={\frac {2{\sqrt {2}}}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}.

Il primo risultato era già stato determinato da G. Bauer nel 1859. Il secondo era nuovo per Hardy e derivava da una classe di funzioni chiamate serie ipergeometriche , che erano state studiate per la prima volta da Eulero e Gauss. Hardy ha trovato questi risultati "molto più interessanti" del lavoro di Gauss sugli integrali. Dopo aver visto i teoremi di Ramanujan sulle frazioni continue nell'ultima pagina dei manoscritti, Hardy ha detto che i teoremi "mi hanno completamente sconfitto; non avevo mai visto niente di simile prima d'ora", e che "devono essere veri, perché, se fossero non è vero, nessuno avrebbe la fantasia di inventarli". Hardy ha chiesto a un collega, JE Littlewood, per dare un'occhiata ai giornali. Littlewood fu stupito dal genio di Ramanujan. Dopo aver discusso le carte con Littlewood, Hardy concluse che le lettere erano "certamente le più notevoli che ho ricevuto" e che Ramanujan era "un matematico di altissima qualità, un uomo di originalità e potere del tutto eccezionali". Un collega, EH Neville , in seguito osservò che "nessuno [teorema] avrebbe potuto essere stabilito nell'esame matematico più avanzato del mondo".

L'8 febbraio 1913 Hardy scrisse a Ramanujan una lettera in cui esprimeva interesse per il suo lavoro, aggiungendo che era "essenziale che io vedessi le prove di alcune delle tue affermazioni". Prima che la sua lettera arrivasse a Madras durante la terza settimana di febbraio, Hardy contattò l'ufficio indiano per pianificare il viaggio di Ramanujan a Cambridge. Il segretario Arthur Davies del Comitato consultivo per gli studenti indiani ha incontrato Ramanujan per discutere del viaggio all'estero. In accordo con la sua educazione bramino, Ramanujan ha rifiutato di lasciare il suo paese per " andare in terra straniera ". Nel frattempo, ha inviato ad Hardy una lettera piena di teoremi, scrivendo: "Ho trovato in te un amico che vede il mio lavoro con simpatia".

Per integrare l'approvazione di Hardy, Gilbert Walker , un ex docente di matematica al Trinity College di Cambridge , ha esaminato il lavoro di Ramanujan ed ha espresso stupore, esortando il giovane a trascorrere del tempo a Cambridge. Come risultato dell'approvazione di Walker, B. Hanumantha Rao, professore di matematica in un college di ingegneria, ha invitato la collega di Ramanujan, Narayana Iyer, a una riunione del Board of Studies in Mathematics per discutere "cosa possiamo fare per S. Ramanujan". Il consiglio ha deciso di concedere a Ramanujan una borsa di studio mensile di 75 rupie per i prossimi due anni presso l' Università di Madras . Mentre era impegnato come studente di ricerca, Ramanujan ha continuato a inviare articoli al Journal of the Indian Mathematical Society. In un caso Iyer ha presentato alla rivista alcuni dei teoremi di Ramanujan sulla sommatoria delle serie, aggiungendo: "Il seguente teorema è dovuto a S. Ramanujan, lo studente di matematica dell'Università di Madras". Più tardi a novembre, il professore britannico Edward B. Ross del Madras Christian College, che Ramanujan aveva incontrato qualche anno prima, un giorno irruppe nella sua classe con gli occhi lucidi, chiedendo ai suoi studenti: "Ramanujan conosce il polacco?" Il motivo era che in un articolo Ramanujan aveva anticipato il lavoro di un matematico polacco il cui articolo era appena arrivato con la posta del giorno. Nei suoi articoli trimestrali Ramanujan elaborò teoremi per rendere gli integrali definiti più facilmente risolvibili. Basandosi sul teorema dell'integrale del 1821 di Giuliano Frullani, Ramanujan formulò delle generalizzazioni che potevano essere fatte per valutare integrali precedentemente inflessibili.

La corrispondenza di Hardy con Ramanujan si inasprì dopo che Ramanujan si rifiutò di venire in Inghilterra. Hardy ha arruolato un collega che insegnava a Madras, EH Neville, per fare da mentore e portare Ramanujan in Inghilterra. Neville chiese a Ramanujan perché non sarebbe andato a Cambridge. Apparentemente Ramanujan aveva ora accettato la proposta; Neville disse: "Ramanujan non aveva bisogno di conversione" e "l'opposizione dei suoi genitori era stata ritirata". Apparentemente la madre di Ramanujan fece un sogno vivido in cui la dea della famiglia, la divinità di Namagiri , le ordinò "di non stare più tra suo figlio e la realizzazione dello scopo della sua vita". Ramanujan si recò in Inghilterra in nave, lasciando sua moglie per stare con i suoi genitori in India.

La vita in Inghilterra

Ramanujan (al centro) e il suo collega GH Hardy (estrema destra), con altri scienziati, fuori dal Senato, Cambridge , c.1914-1919

Corte di Whewell, Trinity College, Cambridge

Ramanujan partì da Madras a bordo della SS Nevasa il 17 marzo 1914. Quando sbarcò a Londra il 14 aprile, Neville lo stava aspettando con un'auto. Quattro giorni dopo, Neville lo portò a casa sua in Chesterton Road a Cambridge. Ramanujan iniziò immediatamente il suo lavoro con Littlewood e Hardy. Dopo sei settimane Ramanujan lasciò la casa di Neville e si stabilì a Whewell's Court, a cinque minuti a piedi dalla stanza di Hardy. Hardy e Littlewood cominciò a guardare i taccuini di Ramanujan. Hardy aveva già ricevuto 120 teoremi da Ramanujan nelle prime due lettere, ma nei quaderni c'erano molti altri risultati e teoremi. Hardy vide che alcuni si sbagliavano, altri erano già stati scoperti e il resto erano nuove scoperte. Ramanujan ha lasciato una profonda impressione su Hardy e Littlewood. Littlewood ha commentato: "Posso credere che sia almeno un Jacobi ", mentre Hardy ha detto che "può confrontarlo solo con Euler o Jacobi".

Ramanujan trascorse quasi cinque anni a Cambridge collaborando con Hardy e Littlewood, e pubblicò lì parte delle sue scoperte. Hardy e Ramanujan avevano personalità fortemente contrastanti. La loro collaborazione è stata uno scontro di culture, credenze e stili di lavoro diversi. Nei decenni precedenti erano entrati in discussione i fondamenti della matematica e la necessità di un metodo matematicamente rigoroso prove riconosciute. Hardy era un ateo e un apostolo della prova e del rigore matematico, mentre Ramanujan era un uomo profondamente religioso che faceva molto affidamento sulla sua intuizione e intuizione. Hardy fece del suo meglio per colmare le lacune nell'educazione di Ramanujan e per guidarlo nella necessità di prove formali a sostegno dei suoi risultati, senza ostacolare la sua ispirazione, un conflitto che non trovò facile.

Ramanujan ottenne un Bachelor of Arts by Research (il predecessore del dottorato di ricerca) nel marzo 1916 per il suo lavoro sui numeri altamente compositi , sezioni della cui prima parte erano state pubblicate l'anno precedente negli Atti della London Mathematical Society . Il documento era lungo più di 50 pagine e dimostrava varie proprietà di tali numeri. Hardy non amava quest'area tematica, ma osservò che sebbene si occupasse di ciò che chiamava "l'arretrato della matematica", in essa Ramanujan mostrava "straordinaria padronanza dell'algebra delle disuguaglianze". Il 6 dicembre 1917 Ramanujan fu eletto alla London Mathematical Society. Il 2 maggio 1918 fu eletto Fellow della Royal Society, ammise il secondo indiano, dopo Ardaseer Cursetjee nel 1841. All'età di 31 anni Ramanujan era uno dei Fellow più giovani nella storia della Royal Society. Fu eletto "per la sua indagine sulle funzioni ellittiche e sulla Teoria dei Numeri". Il 13 ottobre 1918 fu il primo indiano ad essere eletto Fellow del Trinity College di Cambridge .

Malattia e morte

Ramanujan fu afflitto da problemi di salute per tutta la vita. La sua salute peggiorò in Inghilterra; forse era anche meno resistente a causa della difficoltà di attenersi alle rigide esigenze dietetiche della sua religione e a causa del razionamento in tempo di guerra nel 1914-18. Gli fu diagnosticata la tubercolosi e una grave carenza di vitamine e confinato in un sanatorio . Nel 1919 tornò a Kumbakonam , Presidenza di Madras , e nel 1920 morì all'età di 32 anni. Dopo la sua morte suo fratello Tirunarayanan compilò le rimanenti note manoscritte di Ramanujan, costituite da formule su moduli singolari, serie ipergeometriche e frazioni continue.

La vedova di Ramanujan, Smt. Janaki Ammal, trasferitosi a Bombay ; nel 1931 tornò a Madras e si stabilì a Triplicane , dove si manteneva con una pensione dell'Università di Madras e un reddito dalla sartoria. Nel 1950 adottò un figlio, W. Narayanan, che alla fine divenne un funzionario della State Bank of India e mise su famiglia. Negli ultimi anni le è stata concessa una pensione a vita dall'ex datore di lavoro di Ramanujan, il Madras Port Trust, e pensioni, tra gli altri, dall'Indian National Science Academy e dai governi statali di Tamil Nadu , Andhra Pradesh e West Bengal. Ha continuato ad amare la memoria di Ramanujan ed è stata attiva negli sforzi per aumentare il suo riconoscimento pubblico; eminenti matematici, tra cui George Andrews, Bruce C. Berndt e Béla Bollobás, hanno deciso di farle visita mentre si trovava in India. Morì nella sua residenza Triplicane nel 1994.

Un'analisi del 1994 delle cartelle cliniche e dei sintomi di Ramanujan da parte del Dr. DAB Young ha concluso che i suoi sintomi medici - comprese le sue precedenti ricadute, febbri e condizioni epatiche - erano molto più vicini a quelli derivanti dall'amebiasi epatica , una malattia allora diffusa a Madras, rispetto alla tubercolosi . Ha avuto due episodi di dissenteria prima di lasciare l'India. Se non trattata adeguatamente, la dissenteria amebica può rimanere latente per anni e portare all'amebiasi epatica, la cui diagnosi non era allora ben stabilita. All'epoca, se correttamente diagnosticata, l'amebiasi era una malattia curabile e spesso curabile; I soldati britannici che lo contrassero durante la prima guerra mondiale venivano curati con successo dall'amebiasi nel periodo in cui Ramanujan lasciò l'Inghilterra.

Personalità e vita spirituale

Ramanujan è stato descritto come una persona di carattere un po' timido e tranquillo, un uomo dignitoso con modi piacevoli. Ha vissuto una vita semplice a Cambridge. I primi biografi indiani di Ramanujan lo descrivono come un indù rigorosamente ortodosso . Ha accreditato il suo acume alla sua dea di famiglia , Namagiri Thayar (Dea Mahalakshmi) di Namakkal . Ha cercato ispirazione in lei per il suo lavoro e ha detto di aver sognato gocce di sangue che simboleggiavano la sua consorte, Narasimha . In seguito ebbe visioni di rotoli di complesso contenuto matematico che si aprivano davanti ai suoi occhi. Diceva spesso: "Un'equazione per me non ha significato se non esprime un pensiero di Dio".

Hardy cita Ramanujan come osservando che tutte le religioni sembravano ugualmente vere per lui. Hardy ha inoltre sostenuto che la fede religiosa di Ramanujan era stata romanzata dagli occidentali e sopravvalutata - in riferimento alla sua fede, non alla pratica - dai biografi indiani. Allo stesso tempo, ha rimarcato il rigoroso vegetarianismo di Ramanujan .

Risultati matematici

In matematica c'è una distinzione tra intuizione e formulare o lavorare attraverso una dimostrazione. Ramanujan ha proposto un'abbondanza di formule che potrebbero essere approfondite in seguito. G. H. Hardy ha detto che le scoperte di Ramanujan sono insolitamente ricche e che spesso c'è di più in esse di quanto inizialmente sembri. Come sottoprodotto del suo lavoro, sono state aperte nuove direzioni di ricerca. Esempi dei più intriganti di queste formule sono infinite serie di $π$ , uno dei quali è il seguente:

{\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {( 4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}.

Questo risultato si basa sul discriminante fondamentale negativo $d$ = −4 × 58 = −232 con numero di classe $h (d)$ = 2 . Inoltre, 26390 = 5 × 7 × 13 × 58 e 16 × 9801 = 396 , che è correlato al fatto che

{\textstyle e^{\pi {\sqrt {58}}}=396^{4}-104.000000177\dots.}

Questo potrebbe essere paragonato ai numeri di Heegner , che hanno il numero di classe 1 e producono formule simili.

Serie di Ramanujan per $¸$ converge straordinariamente rapidamente e costituisce la base di alcuni degli algoritmi più veloci attualmente utilizzati per calcolare $π$ . Troncando la somma al primo termine si ottiene anche l'approssimazione 9801 √ 2/4412 per $π$ , che è corretto fino a sei cifre decimali; troncandolo ai primi due termini si ottiene un valore corretto a 14 cifre decimali. Vedi anche la serie Ramanujan–Sato più generale .

Una delle notevoli capacità di Ramanujan è stata la rapida soluzione dei problemi, illustrata dal seguente aneddoto su un incidente in cui PC Mahalanobis ha posto un problema:

Immagina di essere in una strada con case contrassegnate da 1 a $n$ . C'è una casa in mezzo ( $x$ ) tale che la somma dei numeri civici alla sua sinistra è uguale alla somma dei numeri civici alla sua destra. Se $n$ è compreso tra 50 e 500, cosa sono $n$ e $x$ ?' Questo è un problema bivariato con più soluzioni. Ramanujan ci ha pensato e ha dato la risposta con una svolta: ha dato una frazione continua. La parte insolita era che era la soluzione a tutta la classe di problemi. Mahalanobis rimase sbalordito e chiese come avesse fatto. 'È semplice. Nel momento in cui ho sentito il problema, sapevo che la risposta era una frazione continua. Quale frazione continua, mi sono chiesto. Poi mi è venuta in mente la risposta', ha risposto Ramanujan".

La sua intuizione lo portò anche a derivare alcune identità precedentemente sconosciute , come

{\begin{allineato}&\left(1+2\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {\cos(n\theta)}{\cosh(n\pi)} }\right)^{-2}+\left(1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cosh(n\theta)}{\cosh(n\pi)} }\right)^{-2}\\[6pt]={}&{\frac {2\Gamma ^{4}\left({\frac {3}{4}}\right)}{\pi } }={\frac {8\pi ^{3}}{\Gamma ^{4}\left({\frac {1}{4}}\right)}}\end{allineato}}

per ogni $θ$ tale che e , dove $Γ($ $z$ $)$ è la funzione gamma , e relativa ad un valore speciale della funzione eta di Dedekind . Espandendo in serie di potenze ed eguagliando i coefficienti di $θ$ , $θ$ e $θ si$ ottengono alcune identità profonde per la secante iperbolica . $|\Re (\theta)|<\pi$ $|\Im (\theta)|<\pi$

Nel 1918 Hardy e Ramanujan studiarono estesamente la funzione di partizione $P (n)$ . Hanno fornito una serie asintotica non convergente che permette il calcolo esatto del numero di partizioni di un intero. Nel 1937 Hans Rademacher perfezionò la loro formula per trovare una soluzione esatta in serie convergente a questo problema. Il lavoro di Ramanujan e Hardy in quest'area ha dato origine a un nuovo potente metodo per trovare formule asintotiche chiamato metodo del cerchio .

Nell'ultimo anno della sua vita, Ramanujan scoprì le funzioni mock theta . Per molti anni queste funzioni sono state un mistero, ma ora sono note per essere le parti olomorfe di forme armoniche deboli di Maass .

La congettura di Ramanujan

Sebbene ci siano numerose affermazioni che avrebbero potuto portare il nome di congettura di Ramanujan, una è stata molto influente sul lavoro successivo. In particolare, la connessione di questa congettura con le congetture di André Weil in geometria algebrica ha aperto nuove aree di ricerca. Quella congettura di Ramanujan è un'asserzione sulla dimensione della funzione tau , che ha come funzione generatrice la forma modulare discriminante Δ( q ), tipica forma a cuspide nella teoria delle forme modulari . Fu finalmente dimostrato nel 1973, come conseguenza della dimostrazione di Pierre Deligne delle congetture di Weil. La fase di riduzione coinvolta è complicata. Deligne ha vinto una medaglia Fields nel 1978 per quel lavoro.

Nel suo articolo "Su certe funzioni aritmetiche", Ramanujan definì la cosiddetta funzione delta, i cui coefficienti sono chiamati $τ (n)$ (la funzione tau di Ramanujan ). Dimostrò molte congruenze per questi numeri, come $τ (p) \equiv 1 + p mod 691$ per i primi $p$ . Questa congruenza (e altre simili che Ramanujan ha dimostrato) ha ispirato Jean-Pierre Serre (1954 Medaglia di Fields) a congetturare che esiste una teoria delle rappresentazioni di Galois che "spiega" queste congruenze e più in generale tutte le forme modulari. $(z)$ è il primo esempio di forma modulare da studiare in questo modo. Deligne (nel suo lavoro vincitore della Medaglia Fields) ha dimostrato la congettura di Serre. La dimostrazione dell'Ultimo Teorema di Fermat procede dapprima reinterpretando le curve ellittiche e le forme modulari nei termini di queste rappresentazioni di Galois. Senza questa teoria non ci sarebbe alcuna prova dell'Ultimo Teorema di Fermat.

I quaderni di Ramanujan

Questo potrebbe essere stato per una serie di ragioni. Poiché la carta era molto costosa, Ramanujan avrebbe svolto la maggior parte del suo lavoro e forse le sue bozze su lavagna , per poi trasferire solo i risultati su carta. L'uso di una lavagna era comune per gli studenti di matematica nella presidenza di Madras all'epoca. Era anche molto probabile che fosse stato influenzato dallo stile del libro di GS Carr , che riportava risultati senza prove. Infine, è possibile che Ramanujan considerasse il suo lavoro solo per il suo interesse personale e quindi registrasse solo i risultati.

Il primo quaderno ha 351 pagine con 16 capitoli in qualche modo organizzati e del materiale non organizzato. Il secondo ha 256 pagine in 21 capitoli e 100 pagine non organizzate e il terzo 33 pagine non organizzate. I risultati nei suoi taccuini hanno ispirato numerosi articoli di matematici successivi che cercavano di dimostrare ciò che aveva trovato. Lo stesso Hardy ha scritto articoli esplorando materiale dal lavoro di Ramanujan, così come GN Watson , BM Wilson e Bruce Berndt. Nel 1976, George Andrews riscoprì un quarto quaderno con 87 pagine non organizzate, il cosiddetto "taccuino smarrito" .

Hardy-Ramanujan numero 1729

Il numero 1729 è conosciuto come il numero di Hardy-Ramanujan dopo una famosa visita di Hardy per vedere Ramanujan in un ospedale. Nelle parole di Hardy:

Ricordo che una volta andai a trovarlo a Putney quando era malato . Avevo preso il taxi numero 1729 e avevo notato che il numero mi sembrava piuttosto noioso e che speravo non fosse un presagio sfavorevole. "No", rispose, "è un numero molto interessante; è il più piccolo numero esprimibile come somma di due cubi in due modi diversi".

Immediatamente prima di questo aneddoto, Hardy ha citato Littlewood dicendo: "Ogni numero intero positivo era uno degli amici personali [di Ramanujan]".

Le due diverse modalità sono:

1729=1^{3}+12^{3}=9^{3}+10^{3}.

Le generalizzazioni di questa idea hanno creato la nozione di " numeri di taxi ".

Le opinioni dei matematici su Ramanujan

Nel suo necrologio di Ramanujan, scritto per Nature nel 1920, Hardy osservò che il lavoro di Ramanujan riguardava principalmente campi meno conosciuti anche da altri matematici puri, concludendo:

La sua intuizione nelle formule era piuttosto sorprendente, e del tutto al di là di tutto ciò che ho incontrato in qualsiasi matematico europeo. Forse è inutile speculare sulla sua storia se fosse stato introdotto alle idee e ai metodi moderni a sedici anni invece che a ventisei. Non è stravagante supporre che possa essere diventato il più grande matematico del suo tempo. Quello che ha effettivamente fatto è abbastanza meraviglioso... quando le ricerche suggerite dal suo lavoro saranno state completate, probabilmente sembrerà molto più meraviglioso di quanto non sembri oggi.

Hardy ha inoltre detto:

Combinava un potere di generalizzazione, un senso per la forma e una capacità di modifica rapida delle sue ipotesi, che spesso erano davvero sorprendenti, e lo rendeva, nel suo campo peculiare, senza rivali ai suoi tempi. I limiti della sua conoscenza erano sorprendenti quanto la sua profondità. Ecco un uomo in grado di elaborare equazioni e teoremi modulari ... a ordini inauditi, la cui padronanza delle frazioni continue era... al di là di quella di qualsiasi matematico al mondo, che aveva trovato da solo l'equazione funzionale della funzione zeta ei termini dominanti di molti dei problemi più famosi della teoria analitica dei numeri; eppure non aveva mai sentito parlare di una funzione doppiamente periodica o del teorema di Cauchy, e in effetti aveva solo la più vaga idea di cosa fosse una funzione di una variabile complessa ..."

Quando gli è stato chiesto dei metodi impiegati da Ramanujan per arrivare alle sue soluzioni, Hardy ha detto che "è stato raggiunto da un processo di argomentazione mista, intuizione e induzione, di cui non era del tutto in grado di fornire un resoconto coerente". Ha anche detto di non aver "mai incontrato un suo pari, e di poterlo confrontare solo con Eulero o Jacobi ".

K. Srinivasa Rao ha detto: "Per quanto riguarda il suo posto nel mondo della matematica, citiamo Bruce C. Berndt: ' Paul Erdős ci ha trasmesso le valutazioni personali di Hardy sui matematici. Supponiamo di valutare i matematici sulla base del puro talento su una scala da 0 a 100. Hardy si è dato un punteggio di 25, JE Littlewood 30, David Hilbert 80 e Ramanujan 100. ' "Durante una conferenza del maggio 2011 all'IIT Madras , Berndt ha affermato che negli ultimi 40 anni, come quasi tutti delle congetture di Ramanujan sono state dimostrate, c'era stato un maggiore apprezzamento del lavoro e della brillantezza di Ramanujan, e che il lavoro di Ramanujan stava ora pervadendo molte aree della matematica e della fisica moderne.

Riconoscimento postumo

Busto di Ramanujan nel giardino del Museo industriale e tecnologico di Birla a Calcutta , India

Il francobollo indiano 2012 dedicato alla Giornata Nazionale della Matematica e con Ramanujan

Ramanujan sul timbro dell'India (2011)

L'anno dopo la sua morte, Nature elencò Ramanujan tra altri illustri scienziati e matematici in un "Calendario dei pionieri scientifici" che avevano raggiunto l'eminenza. Lo stato natale di Ramanujan, il Tamil Nadu, celebra il 22 dicembre (compleanno di Ramanujan) come "Giornata dell'informatica di Stato". I francobolli raffiguranti Ramanujan sono stati emessi dal governo indiano nel 1962, 2011, 2012 e 2016.

Dall'anno del centenario di Ramanujan, il suo compleanno, il 22 dicembre, è stato celebrato ogni anno come Ramanujan Day dal Government Arts College, Kumbakonam , dove ha studiato, e dall'IIT Madras a Chennai . Il Centro Internazionale di Fisica Teorica (ICTP) ha creato un premio a nome di Ramanujan per giovani matematici dei paesi in via di sviluppo in collaborazione con l' Unione Matematica Internazionale , che nomina i membri del comitato del premio. La SASTRA University , un'università privata con sede in Tamil Nadu , ha istituito il Premio SASTRA Ramanujan di US$10.000 da dare ogni anno a un matematico che non superi i 32 anni per contributi eccezionali in un'area della matematica influenzata da Ramanujan. Sulla base delle raccomandazioni di un comitato nominato dalla University Grants Commission (UGC), Government of India, il Centro Srinivasa Ramanujan, istituito da SASTRA, è stato dichiarato un centro fuori dal campus nell'ambito dell'Università SASTRA. In questo campus si trova anche la House of Ramanujan Mathematics, un museo della vita e dell'opera di Ramanujan. SASTRA ha acquistato e ristrutturato la casa dove viveva Ramanujan a Kumabakonam.

Nel 2011, in occasione del 125esimo anniversario della sua nascita, il governo indiano ha dichiarato che il 22 dicembre sarà celebrato ogni anno come Giornata Nazionale della Matematica . Anche il primo ministro indiano Manmohan Singh dichiarò che il 2012 sarebbe stato celebrato come l' anno nazionale della matematica .

Ramanujan IT City è una zona economica speciale (SEZ) della tecnologia dell'informazione (IT) a Chennai che è stata costruita nel 2011. Situato vicino al Tidel Park , comprende 25 acri (10 ettari) con due zone, con una superficie totale di 5,7 milioni piedi quadrati (530.000 m2), inclusi 4,5 milioni di piedi quadrati (420.000 m2) di spazi per uffici.

Nella cultura popolare

L'uomo che conosceva l'infinito è un film del 2015 basato sul libro di Kanigel. L'attore britannico Dev Patel interpreta Ramanujan.
Ramanujan , un film in collaborazione indo-britannico che racconta la vita di Ramanujan, è stato distribuito nel 2014 dalla società cinematografica indipendente Camphor Cinema . Il cast e la troupe comprendono la regista Gnana Rajasekaran , il direttore della fotografia Sunny Joseph e il montatore B. Lenin . Le star indiane e inglesi Abhinay Vaddi, Suhasini Maniratnam , Bhama , Kevin McGowan e Michael Lieber recitano in ruoli chiave.
Nandan Kudhyadi ha diretto i film documentari indiani The Genius of Srinivasa Ramanujan (2013) e Srinivasa Ramanujan: The Mathematician And His Legacy (2016) sul matematico.
Ramanujan (The Man Who Reshaped 20th Century Mathematics) , un docudrama indiano diretto da Akashdeep uscito nel 2018.
Il romanzo thriller di MN Krish The Steradian Trail intreccia Ramanujan e la sua scoperta accidentale nella trama che collega religione, matematica, finanza ed economia.
Partition , un'opera teatrale di Ira Hauptman su Hardy e Ramanujan, è stata rappresentata per la prima volta nel 2013.
L'opera teatrale First Class Man di Alter Ego Productions era basata su First Class Man di David Freeman . Il gioco è incentrato su Ramanujan e la sua relazione complessa e disfunzionale con Hardy. Il 16 ottobre 2011 è stato annunciato che Roger Spottiswoode , meglio conosciuto per il suo film di James Bond Il domani non muore mai , sta lavorando alla versione cinematografica, con Siddharth .
A Disappearing Number è una produzione teatrale britannica della compagnia Complicite che esplora il rapporto tra Hardy e Ramanujan.
Il romanzo di David Leavitt The Indian Clerk esplora gli eventi successivi alla lettera di Ramanujan a Hardy.
Google ha onorato Ramanujan nel suo 125esimo anniversario dalla nascita sostituendo il suo logo con un doodle sulla sua home page.
Ramanujan è stato menzionato nel film del 1997 Good Will Hunting , in una scena in cui il professor Gerald Lambeau ( Stellan Skarsgård ) spiega a Sean Maguire ( Robin Williams ) il genio di Will Hunting ( Matt Damon ) paragonandolo a Ramanujan.
La brillante matematica Amita Ramanujan nello show televisivo Numb3rs , interpretata dall'attrice semi-indiana Navi Rawat , prende il nome da Ramanujan.

Ulteriori opere della matematica di Ramanujan

George E. Andrews e Bruce C. Berndt , Ramanujan's Lost Notebook: Part I (Springer, 2005, ISBN 0-387-25529-X )
George E. Andrews e Bruce C. Berndt, Ramanujan's Lost Notebook: Part II , (Springer, 2008, ISBN 978-0-387-77765-8 )
George E. Andrews e Bruce C. Berndt, Ramanujan's Lost Notebook: Part III , (Springer, 2012, ISBN 978-1-4614-3809-0 )
George E. Andrews e Bruce C. Berndt, Ramanujan's Lost Notebook: Part IV , (Springer, 2013, ISBN 978-1-4614-4080-2 )
George E. Andrews e Bruce C. Berndt, Ramanujan's Lost Notebook: Part V , (Springer, 2018, ISBN 978-3-319-77832-7 )
MP Chaudhary, Una semplice soluzione di alcuni integrali data da Srinivasa Ramanujan, (Risonanza: J. Sci. Education – pubblicazione Indian Academy of Science, 2008)
MP Chaudhary, Mock theta functions per deridere le congetture theta, SCIENTIA, Series A: Math. Sci., (22) (2012) 33-46.
MP Chaudhary, Sulle relazioni modulari per le identità di tipo Roger-Ramanujan, Pacific J. Appl. Matematica, 7 (3) (2016) 177-184.

Pubblicazioni selezionate su Ramanujan e il suo lavoro

Berndt, Bruce C. (1998). Butzer, PL; Oberschelp, W.; Jongen, H. Th. (ed.). Carlo Magno e la sua eredità: 1200 anni di civiltà e scienza in Europa (PDF) . Turnhout, Belgio: Brepols Verlag. pp. 119-146. ISBN 978-2-503-50673-9.
Berndt, Bruce C.; Rankin, Robert A. (1995). Ramanujan: lettere e commento. 9 . Providence, Rhode Island: Società matematica americana . ISBN 978-0-8218-0287-8.
Berndt, Bruce C. ; Rankin, Robert A. (2001). Ramanujan: Saggi e sondaggi. 22 . Providence, Rhode Island: Società matematica americana . ISBN 978-0-8218-2624-9.
Berndt, Bruce C. (2006). Teoria dei numeri nello spirito di Ramanujan . 9 . Providence, Rhode Island: Società matematica americana . ISBN 978-0-8218-4178-5.
Berndt, Bruce C. (1985). I taccuini di Ramanujan . Parte I. New York: Springer. ISBN 978-0-387-96110-1.
Berndt, Bruce C. (1999). I taccuini di Ramanujan . Seconda parte. New York: Springer. ISBN 978-0-387-96794-3.
Berndt, Bruce C. (2004). I taccuini di Ramanujan . Parte III. New York: Springer. ISBN 978-0-387-97503-0.
Berndt, Bruce C. (1993). I taccuini di Ramanujan . Parte IV. New York: Springer. ISBN 978-0-387-94109-7.
Berndt, Bruce C. (2005). I taccuini di Ramanujan . Parte V. New York: Springer. ISBN 978-0-387-94941-3.
Hardy, GH (marzo 1937). "Il matematico indiano Ramanujan". Il mensile matematico americano . 44 (3): 137-155. doi : 10.2307/2301659 . JSTOR 2301659 .
Hardy, GH (1978). Ramanujan . New York: Chelsea Pub. Co. ISBN 978-0-8284-0136-4.
Hardy, GH (1999). Ramanujan: dodici lezioni su argomenti suggeriti dalla sua vita e dal suo lavoro . Providence, Rhode Island: Società matematica americana. ISBN 978-0-8218-2023-0.
Henderson, Harry (1995). Matematici moderni . New York: Facts on File Inc. ISBN 978-0-8160-3235-8.
Kanigel, Robert (1991). L'uomo che conosceva l'infinito: una vita del genio Ramanujan . New York: I figli di Charles Scribner. ISBN 978-0-684-19259-8.
Leavitt, David (2007). The Indian Clerk (brossura ed.). Londra: Bloomsbury. ISBN 978-0-7475-9370-6.
Narlikar, Jayant V. (2003). Bordo scientifico: lo scienziato indiano dal vedico ai tempi moderni . Nuova Delhi, India: Penguin Books. ISBN 978-0-14-303028-7.
Ono, Ken ; Aczel, Amir D. (13 aprile 2016). La mia ricerca di Ramanujan: come ho imparato a contare . Springer . ISBN 978-3319255668.
Sankaran, TM (2005). "Srinivasa Ramanujan- Ganitha lokathile Mahaprathibha" (in malayalam). Kochi, India: Kerala Sastra Sahithya Parishath.

Pubblicazioni selezionate su opere di Ramanujan

Ramanujan, Srinivasa; Hardy, GH; Seshu Aiyar, PV; Wilson, BM ; Berndt, Bruce C. (2000). Carte raccolte di Srinivasa Ramanujan . AMS. ISBN 978-0-8218-2076-6.

Questo libro è stato originariamente pubblicato nel 1927 dopo la morte di Ramanujan. Contiene i 37 articoli pubblicati su riviste professionali da Ramanujan durante la sua vita. La terza ristampa contiene un commento aggiuntivo di Bruce C. Berndt.

S. Ramanujan (1957). Quaderni (2 Volumi) . Bombay: Tata Institute of Fundamental Research.

Questi libri contengono fotocopie dei taccuini originali scritti da Ramanujan.

S. Ramanujan (1988). Il taccuino perduto e altri documenti inediti . Nuova Delhi: Narosa. ISBN 978-3-540-18726-4.

Questo libro contiene copie fotografiche delle pagine del "Taccuino smarrito".

Problemi posti da Ramanujan , Journal of the Indian Mathematical Society.
S. Ramanujan (2012). Quaderni (2 Volumi) . Bombay: Tata Institute of Fundamental Research.

Questo è stato prodotto da immagini scansionate e microfilmate dei manoscritti originali da esperti archivisti della Roja Muthiah Research Library, Chennai.

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